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转摘:正确处理数学中的及对关系(人教社  李文革...

基教所 (2020-7-3 16:13:48)  浏览:1220  评论:0
正确处理数学中的几对关系

人教社李文革

     近20年的新一轮数学课程改革的正反两方面的经验告诉我们:数学教学改革不能走极端,矫枉过正,忽视继承性,而要坚持兼容并包,寻求平衡。面对纷繁复杂的各种数学教学理论,需要厘清一些基本关系。
    充分发挥教师的主导作用与学生的主体作用,教师的主导作用和学生的主体作用相统一,是我国数学教学的一条基本原则。它既克服了“教师中心”的弊端,又克服了“学生中心”的弊端,符合教育规律和学生认知发展规律。教师的主导作用和学生的主体作用不是对立的,而是统一的,教师的主导作用是为了更好地促进学生的主体作用。没有学生的主体作用,也就没有教师的主导作用。二者的辩证关系是由教育的“师傅引进门,修行靠个人”的属性决定的。在具体的教学过程中,教师的主导作用的表现形式之一是讲授,但讲授并不是教师发挥主导作用的唯一途径。教师的主导作用更重要的体现在教师对教学内容的把握、对教学方法的选择、对教学节奏的控制和对教学结果的评定上。
      新一轮课改以来,存在过分强调学生的主体作用、忽视教师的主导作用的现象。这种现象有两种典型的表现形式:一是采用“放羊式”的学习方式。例如,有的教师在课堂上开口闭口就是:“用你喜欢的方法计算。”一味强调“自主探究”的教学前半段,而忽视归纳总结的后半段。这种典型的“放羊式”的学习方式,学生表面上获得了自主的权利,但由于缺乏教师的主导作用,教学效率十分低下。实际上,在以学生为本的教学过程中,不仅不意味着教师责任的减轻和教师作用的降低,相反对教师的主导作用提出了更高的要求。二是滥用激励性评价。例如,有的教师在课堂上开口闭口就是:“你真棒!”适当的、发自内心的激励对调动学生的主体作用无疑是有利的,但不管对错的程式化的激励反而会助长学生的惰性。
      很多教师的“以学生为主体”就是不断地向学生提问,“满堂灌”被“满堂问”所代替。教师期望是学生按教师设想作答(希望他正确或希望他错误),教师的任务便是引导学生一问一答,直到得出预定的答案。这个过程教师是“主角”,个别学生是“配角”,多数学生是“观众”。对课堂提问,笔者认为:一方面教师应注意自己提问的有效性,即教师应注意自己的提问是否有助于学生学习。例如,大多数教师习惯于新授之前就上节课的内容向学生提问,以检验学生是否掌握了上节课的内容(因为本节课要用到)。为了发挥提问的最大价值,我们是否考虑开始不提问,而是在新授中需要用到上节课的内容时,让学生去联想和回忆?这样是否更自然和有效呢?!另一方面教师应注意引导学生向教师和同学提问,即变教师提问为学生提问。例如,为了检验学生对上节课知识的掌握情况,教师可先问一名学生对上节课知识有无问题,回答“有”,即要他说出是什么问题,再向全班征求解答,等回答“没有”后,其他同学即对这位同学提问。这样才是真正“以学生为主体”。
      从根本上说,笼统地讲一种学习方式优于另一种学习方式是不恰当的。只有针对具体的学习者、学习内容、学习环境等因素比较学习方式的优劣才有意义。奥苏贝尔(David Pawl Ausubel, 1918-2008)提出,有意义学习过程的实质,就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系。怎样的学习方式才能做到这种联系呢?答案是:发现式学习与接受式学习都能做到这种联系,而不是只有发现式学习能做到,接受式学习做不到。有人把接受式学习简单地当作机械学习,这是一种误解。实际上,发现学习和接受学习在课堂中不能截然分开,在接受中有探究,在探究中有接受。一方面,并不是所有的知识都适用于探究性的学习方式;另一方面,设计得好的接受学习同样能有效地激发学生学习的主动性。将探究泛化,只能降低课堂的有效性。基础教育阶段的数学教学要把几千年来人类积累的数学知识的基础部分,在短短十年左右的时间让学生理解和掌握,这不能不讲究教学效率。每节课都要探究发现,不仅不必要,也不现实。奥苏贝尔强调,学生的学习以有意义的接受学习为主,这是十分正确的。因为,有意义的接受学习是学生在教师的指导和传授下获得知识的最经济、最快捷、最有效的学习方式。学生正是用这种既省时又省力的方式在较短的时间里获得大量有用的知识。

    毫无疑问,数学教学的理论和实践必须遵循一般教学理论。但数学教学方法不可能从一般教学理论中自动产生。当前的现实情况是:并不是一线教师不知道最新的教学理念,而是不知道如何深刻理解和把握数学学科本身,以及如何将最新的教学理念贯彻到数学教学实践中去。在这种情况下,应把教师教育的重点放在数学学科本身上,而不是停留在空洞的口号层面。一般教学理论和数学教学理论是一般和特殊的关系,数学教学工作者要从数学教学的创造性实践中去丰富一般教学理论。要做到这一点,就不能满足于“一般教学理论+数学例子”的模式从事数学教学的理论和实践研究。数学教学的理论和实践研究必须从数学学科本身出发,深入研究数学学科本身对学生思维发展的影响,揭示数学教学的特殊性,提炼数学教学的特定规律。
       已故著名数学教育家张奠宙先生曾经语重心长地指出:数学课程改革要在数学上多下功夫,仅仅依靠一些教学理念是走不远的。从三维目标、“四基”、翻转课堂,到现在的核心素养,教学理念可以说日新月异。教师写教案套理念,专家评课也套理念,“套理念”成了教学的时髦装束。教学被理念绑架,教师被专家绑架。无论理念如何变化,数学教学最本质的属性永远也不会变。比如,数学教学的根本目标是培养学生的思维能力,教会学生思考,这是永远不会变的。因此,数学教师最根本的是要从提高自身数学素养的角度来提高自己的数学教学水平,吃透教材,充分挖掘教材资源,用原汁原味的数学味道来吸引学生,提高学生的数学素养。
      多年来,人们根据一般教学理论原则,形成了用“教学目标、教学内容、教学过程、教学方法、教学手段、教学效果”等因素去评价一堂数学课。然而,我们不禁要问,谁上课能做到以上六个方面毫无疏?于是这种评价导致课堂教学的表演成分日趋严重,教师追求“顺利”实施教案,学生变成教师教学表演的配角,从而使课堂教学流于形式,陷于僵化。评价一堂数学课不是看它的完整性和全面性,重要的是看它对发展学生数学核心素养有多大的价值,即应该用教学过程的每一个环节和每一个教学手段的最大价值的实现度去评价一堂数学课。即使整堂课只有一个导入,但它对发展学生数学核心素养的价值很大,也是一堂好的数学课。如果一堂数学课所有的学生既没有反问,又没有质疑,教师一帆风顺完成了教案,这节课并非一定是好的数学课。教师应鼓励反问,鼓励质疑,鼓励求异,鼓励创新。

四、教师的数学知识与教学知识之间的关系

    美国斯坦福大学舒尔曼(L.S.Schulman)经过一系列的研究后,提出“Pedagogical Content Knowledge,简称PCK”这一概念,认为以前的教学研究范式忽略了学科问题,而学科问题对教学很重要。舒尔曼把各种教学研究中忽视学科问题的研究称为教育研究的“范式缺失”。教师必须拥有所教学科的具体知识,同时还应该具有将自己拥有的学科知识转化为易于学生理解的表征形式的知识。若结合数学学科来剖析PCK,即为数学教学内容知识(Mathematical PedagogicalContent Knowledge,简称MPCK)。其中,数学学科知识、一般教学法知识、有关数学学习的知识和教育技术知识分别用字母MK、PK、CK、TK表示.MPCK是MK、PK、CK、TK的融合,其中,MK是最基本的成分之一。因此,MPCK具有鲜明的学科性。所以,教师教育必须重视数学学科知识的学习。长期以来,我们在教师教育中过分强调教育理念的学习,而忽视数学专业素养要求。我们欣喜地看到,《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确提出了“教师实施课程标准要努力提升数学专业素养”,并具体给出了教师提升数学专业素养的路径:

(1)把握高中数学的四条主线脉络,理解知识之间的关联。

(2)把握数学核心概念的本质,明晰什么是数学的通性通法。

(3)理解与高中数学关系密切的高等数学的内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质。例如,通过导函数理解函数的性质,通过运算法则理解初等函数,通过矩阵变换和不变量理解几何与代数,通过样本空间和随机变量理解概率与统计。

(4)理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想,能够通过实例理解和表达数学抽象与数学的一般性、逻辑推理与数学的严谨性、数学模型与数学应用的广泛性之间的必然联系,具有在数学教学中渗透数学基本思想的意识和能力。[2]

    情境创设是教学导入的方法之一。但自新一轮数学课改以来,情境创设似乎成了教学导入的唯一方法。不可否认,在数学课堂教学中创设与学生生活紧密联系的生活场景对学生学习数学具有不可替代的重要作用。但是,众所周知,数学知识同时又具有一定的抽象性、系统性与逻辑性。不是所有的内容都能进行生活情境的创设,也不是所有的数学知识都与生活情境紧密相联。数学中诸如“数和式”的运算法则、因式分解、配方等内容,很难设置现实生活情境。在有些新课改教材中,零碎的数学知识淹没在花花绿绿的画面和大量的生活实例中,学生在看书的过程中,往往要把大量的时间花在弄懂那些生活实例上。这实际上就本末倒置了。例如,如下的某市中考试题出现了5个经济学术语及其解释,对学生来说,不容易理解,从而影响答题,而问题的求解基本上是套用公式,属于典型的“烦琐的背景,简单的数学”

某基金在申购和赎回时,其费率分别按下表计算:

本基金的申购金额包括申购费用和净申购金额。其中,

申购费用=申购金额申购费率,净申购金额=申购金额申购费用

申购份额=净申购金额÷申购当日基金单位资产净值

赎回费=赎回当日基金单位资产净值×赎回份额×赎回费率

赎回金额=赎回当日基金单位资产净值×赎回份额赎回费

 

申购金额(M)(万元) 



申购费率


赎回费率

M≤100



2.0%


0.5%

100<M≤500



1.8%


0.5%

500<M≤1000

1.5%

0.5%

1000<M

1.0%

0.5%



甲于某日持申购金额10355.10元申购本基金,当日基金单位资产净值为1.0148;一段时间后,甲在赎回本基金时,当日基金单位资产净值为1.0868。则甲在此基金的申购和赎回过程中赚了(   )元。

有些教师过于注重教学的情境化,为了创设情境可谓是“苦思冥想”,逢课必是从生活、生产中的肤浅实例引入。情境的内容和形式应根据教学内容和不同的学段来创设,切忌牵强误会,让情境成为课堂的“摆设”或使情境牵强化、庸俗化。情境的创设必须目的明确,切忌在情境中“兜圈子”、“绕远路”。对于一些不好创设情境的教学内容,应理直气壮地开门见山直接导入新课。我们不能片面强调“数学的生活化”,而忽视数学课所应具有的“数学味”。

六、记忆与理解之间的关系

我们当然不能把机械记忆作为数学教学的目标,尤其要避免考查机械记忆。但由此认为数学学习完全不需要记忆,也是武断的。在数学学习中,有些数学名词、符号、书写规则等,就需要记忆;为了给数学探究留出更多的时间,一些基本概念、法则、公式等,也需要在理解的基础上熟练地记忆。“熟读唐诗三百首,不会吟诗也会吟”是古人学习写诗的经验之谈,这说明记忆也可以通向理解。在数学学习中,对有些数学知识也需要“倒背如流”,如乘法口诀。在数学学习中,有许多知识,一时无法做到真正理解。例如,有理数的乘法,为什么“负负得正”?尽管我们可以进行一些合理性的说明,但也可能越说越糊涂,对理解并不一定有多大帮助。而要真正理解“负负得正”,需要从有理数公理化体系加以说明,这在基础教育阶段是不可能做到的。所以,对一些运算法则,能够理解的要操练,一时不能理解的也要操练,在操练中慢慢理解。

    英国数学学习心理学家斯根普(R.Skemp)把理解分成两种:工具性理解和关系性理解。工具性理解就是“只知是什么,不知为什么”;关系性理解就是“不仅知道是什么,而且也知道为什么”。我们通常所说的理解,往往是指关系性理解,而忽视工具性理解。但工具性理解也是一种理解,而且在数学学习中,只需要“工具性理解”的知识还不少。例如,为什么自然数从0开始;为什么π是无理数;等等。[3]

     随着信息技术的迅猛发展,越来越多的教师开始使用现代信息技术进行教学。现代信息技术确实给我们的教学带来了很多方便,以致于我们认为:有一天纸质教材会消亡,学生上学再也不需要背书包了,只需要拿一台平板电脑甚至手机就可以了。但现实并没有向我们想象的方向发展,而且现代信息技术的使用也暴露出一些问题。例如,存在为技术而技术的现象,“多媒体教学”成了判断一堂课成功与否的重要标准。这些现象引起了一些有识之士对使用现代信息技术进行教学的反思,我们再也听不到诸如“电子书包”之类的极端说法。不能为现代信息技术在数学教学中的使用简单地贴上改革的标签,现代信息技术只是数学教学的辅助手段,不能取代数学推理、数学思维或数学理解的过程。

     现在有一个不成文的规定:公开课一定要用多媒体。但是,在许多的多媒体公开课教学中,多媒体只是教师的一个“教具”,而远没有成为学生学习的工具。“多媒体教学”要么是“黑板搬家”,把过去写在黑板上的东西搬到现在的计算机屏幕上;要么是“教师表演”,教师高超的电脑技术不仅深深地吸引了学生,也深深地打动了评委,一堂课下来,学生除了欣赏了一幕幕美丽的画面外,再也不知道什么了,教师为自己的电脑技术得到充分展示而眉飞色舞。如果多媒体技术没有成为学生学习的工具,没有用来帮助学生探究和发现,都是对“多媒体教学”的一种误解。
      2018年初颁布的《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》也明确提出,强化“钢笔字、毛笔字、粉笔字和普通话”等教学基本功和教学技能训练。数学教学的根本目的是培养学生的思维水平,“在思路分析、推理论证等过程中,板书教学的效果往往要明显优于多媒体教学。板书的优势在于教师可以根据师生讨论的进程在黑板上完成问题的分析过程。由于教师板书的速度和学生理解的速度相近,教师在黑板上呈现问题信息的同时,自然地给学生留出了思考时间。”[4]而且板书也可以使教师从容应对教学中的不确定性。与之相反,多媒体教学则难以相机灵活应对教学的不确定性,往往使教学变成展示事先制作好的课件的过程。
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